Sequenza infinita

Sequenza infinita

 

 

Si dirà “per caso”, ma il caso aiuta soltanto la mente che è preparata.

Louis Pasteur

 

 

Esaminiamo ora ciò che si intende per caso o casualità.

 

Prendiamo in considerazione una sequenza infinita di numeri, costituita ad esempio, per semplificare, solo da 1 e da 0, come questa:

 

1101000101110100010101110001001010

 

Una sequenza come questa è detta casuale (o contingente) nel senso di Kolmogorov quando realizza un mondo in cui la sola regola esi­stente è che non ci sono regole.

Una sequenza come questa, semplicemente, esiste, senza essere stata generata da alcun meccanismo deterministico.

Non esiste alcuna regola che, utilizzando come input una qualunque serie di 1 e di 0 permetta di calcolare se il termine successivo sia un 1 oppure uno 0. In altre parole, ciascun termine della sequenza non è in alcun modo causato dai termini precedenti.

Di qui deriva, come prima importante conseguenza, l’impossibilità di trascrivere o di comunicare l’intera sequenza.

Se infatti consideriamo solo i primi venti termini: 11010001011101000101 non riusciamo a vedere alcuna regola generatrice per calcolare i termini successivi.

Se esistessero una o più regole, potrebbero avere ad esempio la forma “dopo una certa sequenza di 1 e di 0 scrivi 1” introducendo così la possibilità di definire la sequenza stessa e di calcolarne i termini successivi.

Per trascrivere l’intera sequenza non abbiamo invece altra scelta che trascriverla interamente!

Diverso sarebbe il caso della sequenza infinita 111000111000111000111 la cui regola generatrice è, evidentemente, della forma “scrivi una serie infinita di gruppi di tre 1 e di tre 0 alternati”.

Nel caso della prima sequenza infinita, non riusciamo a vedere alcuna regola generatrice, ma qualche intelligenza più potente ¾ ad esempio uno dei tanti “diavoletti” che popolano la storia della filosofia e anche della fisica ¾ potrebbe trovarla esaminando segmenti sempre più lunghi della sequenza e perciò conoscere e trascrivere l’intera sequenza in modo compresso.

 

Per i nostri scopi, accettiamo che, anche in linea di principio, neppure uno di questi diavoletti sia in grado di farlo. Ricordiamo che, per definizione, la sola regola esi­stente è che non ci sono regole, senza eccezioni.

Una sequenza infinita si dirà quindi casuale se non può essere definita in modo più compresso che trascrivendola per intero. Il che, tra l’altro, richiede un tempo infinito.

Possiamo pertanto concepire l’idea di un mondo totalmente casuale, senza alcuna regola che possa permettere alcuna predi­zione: basta che i messaggi che riceviamo da tale mondo non possano essere compressi.

In altre parole, che gli n primi termini di ciascuna sequenza considerata non possano essere comunicati utilizzando meno di n unità elementari di informazione (o bit).

In termini informatici, l’entropia del messaggio deve essere massima, o meglio tendere al massimo, al crescere della lunghezza.

 

Sarebbe un mondo terribile, incomprensibile. Non vi si potrebbe ravvisare alcuna relazione di causa-effetto. Sarebbe quasi certamente un mondo inadatto a ospitare la vita. Non parliamo poi di libero arbitrio e di altre amenità.

                                                                                                 

Non c’è dubbio. A questo punto però ci viene in soccorso il teorema di Ramsey, secondo il quale è inevitabile che anche in un mondo senza regole si presentino delle regolarità.

Per esempio, è certo che la nostra sequenza presenterà in qualche suo tratto una serie di un milione di 0 consecutivi.

Se così non fosse, esisterebbe la legge: non può esserci un milione di 0 consecutivi.

È certo inoltre, è anzi necessario, che queste sequenze di un milione di 0 si riproducano un’infinità di volte.

Se così non fosse, esisterebbe la legge: una sequenza di un milione di 0 consecutivi può ripetersi solo n volte.

Secondo Kolmogorov, una sequenza con queste caratteristiche risulta casuale anche nel senso della teoria delle probabi­lità. Si dimostra infatti che, se una sequenza è casuale nel senso di Kolmogorov, la frequenza degli 0 e degli 1 in qualsiasi campione è sempre prossima a 1/2.

 

Che sollievo vedere scaturire una razionalità da una situazione ostica come questa!

Questo mondo che rifiuta per principio le regole deterministiche si può domare con il calcolo delle probabilità.

Le sequenze, costruite con tanta cura perché non si possa mai prevedere un termine in funzione dei precedenti, si rivelano accessibili, nel loro complesso, alle previsioni statistiche.

 

Ovviamente la conoscenza che ne può derivare si riferisce al comportamento della sequenza nel suo complesso: ad esempio, si può prevedere che vi saranno tante coppie di 1 quante di 0, tante sequenze definite a piacere di 1 e di 0, ecc., anche se non saremo mai in grado di predire se il termine che occupa l’ennesimo posto della sequenza sarà un 1 oppure uno 0. Possiamo solo affermare che le rispettive probabilità sono pari a 1/2.

Si suole considerare il mondo casuale come opposto al mondo deterministico. Questi due concetti costituiscono i due poli tra i quali fluttua continuamente la nostra com­prensione del mondo: quanto più ci si allontana dall’uno, tanto più ci si avvicina all’altro.

Un mondo totalmente casuale deve es­sere anche totalmente probabilistico, e quindi soggetto alle leggi statistiche della probabilità che permettono comunque di effettuare delle previsioni e delle deduzioni.

Dall’infinito susseguirsi degli eventi devono emergere necessariamente delle regolarità e tutto ciò che non è logicamente o fisicamente impossibile deve accadere e deve accadere infinite volte.

 

 

Può sembrare strano che la vita sia un puro incidente,

ma in un universo tanto grande è inevitabile

che accadano incidenti.

Bertrand Russell

 

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