Sequenza infinita
Si dirà “per caso”, ma il caso aiuta soltanto
la mente che è preparata.
Louis Pasteur
Esaminiamo ora ciò che si
intende per caso o casualità.
Prendiamo in considerazione una sequenza
infinita di numeri, costituita ad esempio, per semplificare, solo da 1 e da 0,
come questa:
1101000101110100010101110001001010…
Una sequenza come questa è detta
casuale (o contingente) nel senso di Kolmogorov quando realizza un mondo in cui
la sola regola esistente è che non ci sono regole.
Una sequenza come questa,
semplicemente, esiste, senza essere stata generata da alcun meccanismo
deterministico.
Non esiste alcuna regola che,
utilizzando come input una qualunque serie di 1 e di 0 permetta di calcolare se
il termine successivo sia un 1 oppure uno 0. In altre parole, ciascun termine
della sequenza non è in alcun modo causato dai termini precedenti.
Di qui deriva, come prima
importante conseguenza, l’impossibilità di trascrivere o di comunicare l’intera
sequenza.
Se infatti consideriamo solo i
primi venti termini: 11010001011101000101 non riusciamo a vedere alcuna regola
generatrice per calcolare i termini successivi.
Se esistessero una o più regole,
potrebbero avere ad esempio la forma “dopo una certa sequenza di 1 e di 0
scrivi 1” introducendo così la possibilità di definire la sequenza stessa e di
calcolarne i termini successivi.
Per trascrivere l’intera sequenza
non abbiamo invece altra scelta che… trascriverla interamente!
Diverso sarebbe il caso della
sequenza infinita 111000111000111000111… la cui
regola generatrice è, evidentemente, della forma “scrivi una serie infinita di
gruppi di tre 1 e di tre 0 alternati”.
Nel caso della prima sequenza infinita,
non riusciamo a vedere alcuna regola generatrice, ma qualche intelligenza più
potente ¾
ad esempio uno dei tanti “diavoletti” che popolano la storia della filosofia e
anche della fisica ¾
potrebbe trovarla esaminando segmenti sempre più lunghi della sequenza e perciò
conoscere e trascrivere l’intera sequenza in modo compresso.
Per i nostri scopi, accettiamo che,
anche in linea di principio, neppure uno di questi diavoletti sia in grado di
farlo. Ricordiamo che, per definizione, la sola regola esistente è che non ci
sono regole, senza eccezioni.
Una sequenza infinita si dirà
quindi casuale se non può essere definita in modo più compresso che
trascrivendola per intero. Il che, tra l’altro, richiede un tempo infinito.
Possiamo pertanto concepire l’idea
di un mondo totalmente casuale, senza alcuna regola che possa permettere alcuna
predizione: basta che i messaggi che riceviamo da tale mondo non possano
essere compressi.
In altre parole, che gli n primi termini di ciascuna sequenza
considerata non possano essere comunicati utilizzando meno di n unità elementari di informazione (o
bit).
In termini informatici, l’entropia
del messaggio deve essere massima, o meglio tendere al massimo, al crescere
della lunghezza.
Sarebbe
un mondo terribile, incomprensibile. Non vi si potrebbe ravvisare alcuna
relazione di causa-effetto. Sarebbe quasi certamente un mondo inadatto a
ospitare la vita. Non parliamo poi di libero arbitrio e di altre amenità.
Non c’è dubbio. A questo punto però
ci viene in soccorso il teorema di Ramsey, secondo il quale è inevitabile che
anche in un mondo senza regole si presentino delle regolarità.
Per esempio, è certo che la nostra
sequenza presenterà in qualche suo tratto una serie di un milione di 0
consecutivi.
Se così non fosse, esisterebbe la
legge: non può esserci un milione di 0 consecutivi.
È certo inoltre, è anzi necessario,
che queste sequenze di un milione di 0 si riproducano un’infinità di volte.
Se così non fosse, esisterebbe la
legge: una sequenza di un milione di 0 consecutivi può ripetersi solo n volte.
Secondo Kolmogorov, una sequenza
con queste caratteristiche risulta casuale anche nel senso della teoria delle
probabilità. Si dimostra infatti che, se una sequenza è casuale nel senso di
Kolmogorov, la frequenza degli 0 e degli 1 in qualsiasi campione è sempre
prossima a 1/2.
Che
sollievo vedere scaturire una razionalità da una situazione ostica come questa!
Questo
mondo che rifiuta per principio le regole deterministiche si può domare con il
calcolo delle probabilità.
Le
sequenze, costruite con tanta cura perché non si possa mai prevedere un termine
in funzione dei precedenti, si rivelano accessibili, nel loro complesso, alle
previsioni statistiche.
Ovviamente la conoscenza che ne può
derivare si riferisce al comportamento della sequenza nel suo complesso: ad
esempio, si può prevedere che vi saranno tante coppie di 1 quante di 0, tante
sequenze definite a piacere di 1 e di 0, ecc., anche se non saremo mai in grado
di predire se il termine che occupa l’ennesimo posto della sequenza sarà un 1
oppure uno 0. Possiamo solo affermare che le rispettive probabilità sono pari a
1/2.
Si suole considerare il mondo
casuale come opposto al mondo deterministico. Questi due concetti costituiscono
i due poli tra i quali fluttua continuamente la nostra comprensione del mondo:
quanto più ci si allontana dall’uno, tanto più ci si avvicina all’altro.
Un mondo totalmente casuale deve essere
anche totalmente probabilistico, e quindi soggetto alle leggi statistiche della
probabilità che permettono comunque di effettuare delle previsioni e delle
deduzioni.
Dall’infinito susseguirsi degli
eventi devono emergere necessariamente delle regolarità e tutto ciò che non è
logicamente o fisicamente impossibile deve accadere e deve accadere infinite
volte.
Può sembrare strano che la vita sia un puro
incidente,
ma in un universo tanto grande è inevitabile
che accadano incidenti.
