Matematica

Matematica

E’ La scienza che studia i numeri e le grandezze
con essi rappresentabili, le figure geometriche,
nonché le relazioni che intercorrono tra tali quantità
e le operazioni logiche con esse eseguibili.

In passato la matematica era suddivisa in tre branche ben definite, la geometria, o scienza delle quantità e delle dimensioni geometriche, la aritmetica, o scienza dei numeri e del contare, e l'algebra, cioè la generalizzazione astratta di questi due campi.

Verso la metà del XIX secolo questa definizione divenne sempre meno appropriata, essendo ormai la matematica divenuta la scienza delle relazioni, comprendente i nuovi campi della logica matematica e simbolica. Si assistette così all'introduzione di nuovi "segni matematici", per esprimere in forma rigorosa i processi di deduzione e di induzione, e alla formulazione e organizzazione di definizioni, assiomi, postulati e regole per elaborare relazioni e teoremi complessi a partire da concetti elementari e primitivi.

Dal punto di vista storico, la matematica è nata con l'uomo, per soddisfare le primitive esigenze del contare e dell'individuare gli oggetti: le prime testimonianze di alcune nozioni di geometria e dell'interesse per le forme geometriche sono state infatti individuate nei disegni del vasellame e dei tessuti, e nelle pitture rupestri d'epoca preistorica. I sistemi di conteggio primitivi, sviluppati in seguito a esigenze pratiche, erano quasi certamente basati sull'uso delle dita di una o di entrambe le mani, come suggerito dalla predominanza del numero 5 e del numero 10 come basi degli attuali sistemi di numerazione.

Matematica antica

Le prime testimonianze di una matematica avanzata e organizzata risalgono al periodo della civiltà babilonese e di quella egizia, intorno al III millennio a.C.

Allora l'aritmetica e la geometria erano applicate a problemi di natura prettamente empirica, come la definizione dei confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo, e non vi era traccia di concetti matematici astratti e complessi quali quelli di assioma e di dimostrazione.

I primi testi egizi, elaborati intorno al 1800 a.C., rivelano che era in uso un sistema di numerazione decimale, basato su simboli distinti per indicare le potenze di 10 (ovvero 1, 10, 100 ecc.), simile al sistema adottato in seguito dai romani.

In geometria essi giunsero alle formule corrette per il calcolo dell'area dei triangoli, dei rettangoli, dei trapezi e del volume di figure solide, come i parallelepipedi, i cilindri e, naturalmente, le piramidi.

L'area del cerchio veniva calcolata eseguendo il quadrato degli 8/9 del diametro, e questa operazione, che corrispondeva ad assumere per pi greco un valore pari a circa 3,16 anziché 3,14, forniva un risultato assai prossimo a quello esatto.

I babilonesi adottarono un sistema di numerazione sessagesimale, ossia in base 60, che differiva notevolmente da quello egizio.

Col tempo essi svilupparono un sofisticato sistema matematico, mediante il quale potevano determinare le soluzioni positive di qualunque equazione quadratica e le radici di alcune equazioni di terzo grado.

I babilonesi disponevano di un gran numero di tavole, comprese quelle per la moltiplicazione e la divisione, quelle dei quadrati e dell'interesse composto. Risolvevano anche complicati problemi applicando il teorema di Pitagora, e una delle loro tavole conteneva addirittura le soluzioni intere dell'equazione a2 + b2 = c2, ordinate in modo che c2/a2 decrescesse con continuità dal valore 2 fino a circa 4/3

La matematica greca

I greci elaborarono la loro matematica attingendo in parte alla matematica egizia, in parte a quella babilonese. Il fondamentale elemento di novità che introdussero fu l'allontanamento dall'approccio puramente empirico a favore dell'invenzione di una matematica più astratta, fondata su una struttura logica di definizioni, assiomi e dimostrazioni.

Secondo testimonianze più tarde, questo sviluppo ebbe inizio nel VI secolo a.C. con Talete di Mileto e Pitagora di Samo. Quest'ultimo fu il fondatore di una scuola di pensiero filosofico-religioso che predicava l'importanza di studiare i numeri, considerati nel contempo il principio e l'essenza di tutte le cose.

Nel V secolo a.C. il filosofo atomista Democrito, tra i più grandi studiosi della geometria, pervenne alla formula corretta per la determinazione del volume di una piramide, e Ippocrate scoprì che l'area delle figure piane delimitate da archi di circonferenza è riconducibile all'area di opportuni triangoli.

Verso la fine del V secolo a.C. un matematico d'identità sconosciuta scoprì l'impossibilità di misurare con la stessa unità di misura il lato e la diagonale di un quadrato; in altri termini egli affermò che non esistevano due numeri interi, m e n, il cui rapporto fornisse quello tra questi due segmenti.

Fu così riconosciuta l'esistenza di grandezze incommensurabili, cioè di grandezze che, pur appartenendo alla stessa specie, non hanno sottomultipli comuni. Come conseguenza furono riformulati i concetti fondamentali della geometria, in particolare le nozioni di punto, retta, piano e spazio, e si pervenne ad una nuova concezione, più astratta e razionale, della matematica;

Si comprese l'importanza dei postulati, a partire dai quali potevano essere dedotti i teoremi necessari per ogni applicazione pratica. La nuova teoria, la cui introduzione risale al IV secolo a.C., fu attribuita a Eudosso di Cnido, e inclusa negli Elementi di Euclide.

La prima formulazione ordinata e assiomatica dei contenuti della matematica del tempo si deve comunque a Euclide; i 13 libri che costituiscono i suoi Elementi contengono infatti gran parte delle conoscenze fondamentali del periodo precedente al IV secolo a.C.: la geometria dei poligoni e del cerchio, la teoria dei numeri, quella delle grandezze incommensurabili, la geometria solida, e la teoria elementare delle aree e dei volumi. Il secolo seguente fu particolarmente fecondo per lo sviluppo della matematica, grazie agli studi di Archimede di Siracusa e di un suo più giovane contemporaneo, Apollonio.

Archimede determinò l'area e il volume delle figure geometriche ottenibili dalle coniche, sfruttando un metodo basato sulla valutazione teorica del peso di sezioni infinitamente sottili di queste figure. Gli scritti di Archimede, che peraltro contengono discussioni su importanti problemi di fisica, quali la determinazione del centro di massa dei corpi e delle loro condizioni di galleggiamento in acqua, sono i più antichi che ci siano pervenuti.

In Grecia, parallelamente agli studi di matematica pura, furono condotte importanti ricerche anche nel campo dell'ottica, della meccanica e dell'astronomia. Molti dei più grandi matematici di cui ci restano gli scritti, come Euclide e Archimede, si dedicarono anche a osservazioni e a studi astronomici.

Poco dopo Apollonio, gli astronomi greci adottarono il sistema babilonese per la rappresentazione delle frazioni e, pressoché nello stesso periodo, compilarono le tavole delle corde di circonferenza che segnarono la nascita della trigonometria e che sono equivalenti alle moderne tavole dei seni.

Data una circonferenza di raggio fissato, esse fornivano la lunghezza di tutte le corde sottese da archi di lunghezza crescente a intervalli fissi.

Nelle tavole di Ipparco, che risalgono al 150 circa a.C. e che probabilmente furono le prime compilate, gli archi considerati crescevano a intervalli di 7,5°, da 0° a 180°.

La matematica nel Medioevo e nel Rinascimento

Intorno al 900, gli studiosi islamici poterono iniziare a costruire i loro edifici matematici sulle fondamenta greche e indiane.

Così il sistema aritmetico decimale posizionale indiano venne esteso fino a includere le frazioni decimali e, nel XII secolo, il matematico persiano Omar Khayyam generalizzò i metodi di estrazione delle radici quadrate e cubiche alle radici di indice superiore.

In algebra, Al-Karaji perfezionò l'algebra dei polinomi di Muhammad al-Khuwarizmi, introducendo anche lo studio dei polinomi costituiti da infiniti termini. (Tra l'altro, proprio dal nome di Al-Khuwarizmi deriva il termine algoritmo e dal titolo di uno dei suoi libri il termine algebra.)

Alcuni geometri, tra cui Ibrahim ibn Sinan, continuarono le ricerche di Archimede sulle aree e sui volumi, e Kamal al-Din e altri applicarono la teoria delle coniche per risolvere problemi di ottica.

Dalla funzione seno dell'India e dal teorema di Menelao, i matematici, da Habas al-Hasib a Nasir ad-Din at-Tusi, crearono le discipline matematiche della trigonometria sferica e della trigonometria piana.

In Occidente la trigonometria assunse la dignità di disciplina matematica solo dopo la pubblicazione del De Triangulis Omnimodibus (Sui triangoli di tutti i generi) dell'astronomo tedesco Regiomontano.

Nel periodo tardo-medievale alcuni autori, ad esempio Nicole Oresme, fecero interessanti considerazioni sul problema dell'infinito in matematica; tuttavia la prima scoperta veramente importante dell'Occidente risale solo all'inizio del XVI secolo.

Tale scoperta, una formula algebrica per la soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, venne pubblicata nel 1545 dal matematico italiano Gerolamo Cardano nella sua Ars Magna. Il XVI secolo vide anche la nascita dei moderni simboli matematici e algebrici, come pure l'importante lavoro sulle soluzioni delle equazioni del matematico francese François Viète, i cui scritti influenzarono illustri matematici del secolo successivo, tra cui Pierre de Fermat in Francia e Isaac Newton in Gran Bretagna.

Il secolo XVII

I primi progressi rilevanti, a partire dai tempi di Archimede e Apollonio, vennero compiuti durante il XVII secolo, che si aprì con la scoperta dei logaritmi da parte del matematico scozzese John Napier, altrimenti noto come Nepero.

L'utilità del risultato fu riconosciuta quasi due secoli più tardi dall'astronomo francese Pierre-Simon Laplace che affermò come, dimezzando il lavoro degli astronomi, il matematico scozzese ne avesse raddoppiato la vita.

Lo sviluppo della teoria dei numeri, trascurata dal Medioevo in avanti, illustra come i progressi del XVII secolo poggiassero sulle basi delle conoscenze dell'antichità. Fu l'Aritmetica di Diofanto che stimolò Fermat a portare un grosso impulso alla teoria dei numeri; infatti il più importante contributo del matematico francese fu un'affermazione scritta a margine della sua copia dell'Aritmetica, secondo cui non esisterebbe alcuna soluzione dell'equazione an +bn = cn con a, b e c interi positivi, per valori di n maggiori di 2. Questa proposizione, nota come ultimo teorema di Fermat e dimostrata solo recentemente, impegnò numerosi matematici e fu l'argomento di importanti lavori nel campo dell'algebra e della teoria dei numeri.

Nel corso del secolo si ebbero due importanti scoperte riguardanti la geometria pura. La prima venne dalla pubblicazione del Discorso sul Metodo (1637) di Cartesio, che conteneva i primi importanti studi sulla geometria analitica e che, insieme ai brevi trattati che l'accompagnavano, fornì le basi per gli studi matematici iniziati intorno al 1660 da Isaac Newton.

La seconda importante conquista della geometria avvenne nel 1639 quando l'ingegnere francese Gérard Desargues pubblicò gli studi che lo avevano condotto alla scoperta della geometria proiettiva.

Un passo di estrema importanza fu poi la nascita della teoria delle probabilità, inaugurata in un carteggio tra Pascal e Fermat a proposito di un problema di gioco d'azzardo, chiamato il problema dei punti.

Questo lavoro inedito stimolò lo scienziato olandese Christiaan Huygens a pubblicare un breve trattato sulle probabilità nel gioco dei dadi, che fu in seguito riproposto dal matematico svizzero Jakob Bernoulli nel suo Arte della Congettura. Bernoulli, e anche il francese Abraham De Moivre, nell'opera Dottrina delle Possibilità del 1718, applicarono il calcolo infinitesimale, di recente scoperta, alla teoria delle probabilità, compiendo importanti progressi che subito trovarono ampia applicazione.

L'evento matematico più importante del secolo XVII, comunque, fu senza dubbio la nascita, tra il 1664 e il 1666, del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale, da parte di Newton. Dopo circa otto anni dagli studi di Newton, che tuttavia non erano ancora stati pubblicati, anche il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz giunse autonomamente alla teoria del calcolo infinitesimale, che pubblicò nel 1684 e nel 1686, dando inizio a una lunga disputa sulla paternità della scoperta.

Alcune delle notazioni di Leibniz, ad esempio dx, sono tuttora usate nel calcolo infinitesimale moderno.

Il secolo XVIII

Nel corso degli ultimi anni del secolo XVII e all'inizio del XVIII si delinearono anche nuove aree della matematica. Ad esempio, Johann e Jakob Bernoulli posero le basi per il calcolo delle variazioni, e il matematico francese Gaspard Monge introdusse la geometria differenziale.

Sempre in Francia, Giuseppe Luigi Lagrange elaborò un trattato di meccanica puramente analitico, intitolato la Meccanica analitica e pubblicato nel 1788, in cui furono scritte le famose equazioni di Lagrange per un sistema dinamico.

Egli contribuì anche allo sviluppo delle equazioni differenziali e della teoria dei numeri, e inaugurò gli studi sulla teoria dei gruppi.

Il suo contemporaneo Laplace scrisse La teoria analitica delle probabilità (1812); inoltre l'opera Meccanica celeste classica (1799-1825) gli valse il titolo di "Newton francese".

Il più grande matematico del XVIII secolo fu probabilmente lo svizzero Leonhard Euler, che portò contributi fondamentali al calcolo infinitesimale e a molti altri rami della matematica pura e applicata.

Il secolo XIX

Nel 1821 il matematico francese Augustin-Louis Cauchy propose un approccio al calcolo infinitesimale, formulato in funzione di sole quantità finite e del concetto di limite, che soddisfece tutte le esigenze di rigore precedentemente emerse, ma che pose il problema della definizione logica di "numero reale".

Nell'ambito degli studi sul moto della corda vibrante si sviluppò l'esigenza di una definizione rigorosa di funzione.

Eulero, Lagrange e Jean-Baptiste Fourier contribuirono a risolvere la questione, ma fu il matematico tedesco Peter G.L. Dirichlet a proporre la definizione tuttora riconosciuta, secondo cui una funzione è una relazione matematica mediante la quale si stabilisce una corrispondenza tra gli elementi del dominio (l'insieme di definizione) e quelli del codominio, o range, della funzione.

All'inizio del secolo Carl Friedrich Gauss diede una spiegazione esauriente dei numeri complessi, che in seguito costituirono un nuovo campo dell'analisi, al quale lavorarono Cauchy, Weierstrass e il matematico tedesco Georg B. Riemann.

Un'altra conquista dell'analisi fu lo studio di Fourier delle serie infinite a termini trigonometrici.

Note ora come serie di Fourier, esse rappresentano ancora potenti strumenti della matematica pura e applicata. Inoltre, la ricerca delle funzioni, che ammettessero la rappresentazione in serie di Fourier, portò Cantor allo studio degli insiemi infiniti e di un'aritmetica dei numeri infiniti.

Un'altra importante scoperta del XIX secolo, pure accolta con accuse di astrattismo e inutilità, fu quella delle geometrie non euclidee, nate dalla negazione del quinto postulato di Euclide, secondo cui per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.

Il primo matematico a interessarsi dello sviluppo delle geometrie non euclidee fu il tedesco Carl Friedrich Gauss, che però temette le controversie che la pubblicazione dei suoi studi avrebbero potuto suscitare.

Di grande importanza fu la trasformazione dell'algebra, nel XIX secolo, da studio dei polinomi a studio della struttura dei sistemi algebrici. Un rilevante passo avanti in questa direzione fu lo sviluppo dell'algebra simbolica che ebbe luogo in Inghilterra, per merito di George Peacock.

Di grande rilievo fu anche la scoperta dei sistemi algebrici che hanno molte delle proprietà, ma non tutte, dei numeri reali. Nel corso del XIX secolo furono addirittura le fondamenta della matematica a essere dapprima poste in discussione, poi perfezionate e completate, in particolare per opera di George Boole, con le sue Laws of Thought (Leggi del pensiero, 1854) e di Georg Cantor con la sua teoria degli insiemi.

Il Novecento

Agli inizi del secolo, in particolare per opera di Bertrand Russell, venne osservato che la teoria di Cantor, e il concetto stesso di insieme, portavano ad alcune contraddizioni.

Le ricerche dei matematici si volsero quindi alla formulazione di una teoria degli insiemi basata su condizioni sufficientemente restrittive, così da evitare ulteriori paradossi, lasciando però aperta la questione sulla sua coerenza e completezza.

Alla II Conferenza Internazionale dei matematici tenuta a Parigi nel 1900, prese parte il matematico tedesco David Hilbert. Nella sua relazione Hilbert propose una rassegna dei 23 problemi matematici che egli credeva avrebbero guidato il lavoro dei matematici durante il secolo che si inaugurava.

Di importanza pari a questi problemi è stato un evento che sembra destinato a ricoprire un ruolo anche maggiore nello sviluppo futuro della matematica: l'invenzione del computer digitale programmabile. Sebbene le radici del computer vadano ricercate nei calcolatori a ingranaggi di Pascal e di Leibniz del XVII secolo, fu Charles Babbage, nel XIX secolo, il primo a progettare una macchina che avrebbe eseguito autonomamente dei calcoli in base a un programma di istruzioni immagazzinate su opportune schede o nastri.

La matematica del mondo moderno sta avanzando a ritmo più rapido rispetto al passato. Teorie un tempo indipendenti sono state incorporate in teorie più ampie e più astratte. Sebbene siano stati risolti molti importanti problemi, ne rimangono altri tuttora irrisolti e, col procedere delle conoscenze, ne sorgono di nuovi.


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